5.1 PROPORCIONALIDAD.
RAZONES.
La razón es una relación binaria entre magnitudes (es decir, objetos,
personas, estudiantes, cucharadas, unidades
del SI, etc.),
generalmente se expresa como “a es
a b" o a:b.
En el caso de números toda razón se puede expresar como una fracción y eventualmente como un decimal.
Razón
aritmética.
La razón
aritmética de dos cantidades
es la diferencia (o resta) de dichas
cantidades. La razón aritmética se puede escribir colocando entre las dos
cantidades el signo, o
bien con el signo -. Así,
la razón aritmética de 6 a 4 se escribe: 6.4 ó 6-4.
El primer
término de una razón aritmética recibe el nombre de antecedente y el segundo el de consecuente. Así en la razón
6-4, el antecedente es 6 y el consecuente 4.
Razón geométrica.
La razón geométrica es
la comparación de dos cantidades por su cociente, donde se ve cuántas
veces contiene una a la otra. Sólo si las magnitudes a comparar tienen la misma unidad de medida la razón es
adimensional.
Una razón «X:Y» se puede
leer como «X sobre Y», o bien «X es a Y».
El numerador de la razón (es decir, el X) se llama antecedente y
al denominador (el Y)
se le conoce como consecuente.
Ejemplo:
18:6 representa la razón de 18 entre 6,
que es igual a 3 (18 tiene tres veces 6). Su razón geométrica es 3, su
antecedente 18, y su consecuente 6.
Proporción.
Por ejemplo:
2 = 6
5 15
Para resolver una proporción, debemos multiplicar cruzado para formar una ecuación. Por ejemplo:
2 = 6 =
5 15
2 · 15 = 6 · 5
30 = 30
Las proporciones expresan igualdades.
Ejemplo:
2 = 8
x 16
Ahora, se multiplica cruzado.
2 · 16 = 8 · x
32 = 8x Se resuelve la ecuación.
32 = 8x
8 8
4 = x
El valor que hace cierta la proporción es 4 es decir:
2 = 8
4 16
5.2 PLANO
CARTESIANO.
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas
perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La
recta horizontal es llamada eje
de las abscisas o de las
equis (x), y la vertical, eje
de las ordenadas o de las
yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la
posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.
Par
ordenado y su gráfico en el plano cartesiano.
(x,y) es un par ordenado cualquiera, x ≠ y, en donde x es el
primer elemento llamado primera componente y y es el
segundo elemento llamado segunda componente.
IMPORTANTE: (x, y) ≠ (y, x).
Es decir el orden de las componentes no puede ser cambiado.
Estas componentes numéricas, se pueden graficar en los
ejes cartesianos o plano cartesiano; la primera componente representa la
abscisa y se ubica en el eje x;
la segunda componente representa la ordenada y se ubica en el eje y. (x, y).
Para localizar
puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:
1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las
unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia la
izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.
2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las
unidades correspondientes (en el eje de las ordenadas) hacia arriba si son
positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier
punto dadas ambas coordenadas.
Ejemplo:
Localizar el
punto A (-4, 5) en el plano cartesiano.
El punto A se
ubica 4 lugares hacia la izquierda en la abcisa (x) y 5 lugares hacia arriba en
ordenada (y).
Proporcionalidad directa.
Dadas dos variables X y Y, Y es (directamente)
proporcional a X (X y Y varían directamente, o X y Y están en variación directa) si hay
una constante k distinta de cero tal que:
La relación a menudo se denota
y la razón constante
es llamada constante de
proporcionalidad.
Ejemplo.
Dos
albañiles construyen un muro de doce metros cuadrados de superficie en tres
horas; ¿Qué superficie construirán cinco albañiles en cuatro horas ?
Hay dos
parámetros que influyen en la superficie construida: El número de albañiles y
el tiempo de trabajo. No hay que resistir a la tentación de aplicar dos veces
la proporcionalidad, pero eso sí, explicitando las hipótesis subyacentes.
Afirmar
que el trabajo realizado es proporcional al número de albañiles equivale
a decir que todos los obreros tienen la misma eficacia al trabajo (son
intercambiables); y afirmar que la superficie es proporcional al tiempo de
trabajo supone que el rendimiento no cambia con el tiempo: los albañiles no se
cansan.
Admitiendo
estas dos hipótesis, se puede contestar a la pregunta pasando por una etapa
intermedia: ¿ Qué superficie construirían dos albañiles en cuatro horas ?
El parámetro "número de albañiles" tiene un valor fijo,
luego se aplica la proporcionalidad con el tiempo (subtabla roja). La
superficie construida será multiplicada por 
Luego, fijando el
parámetro tiempo a cuatro horas, y variando él del número de obreros de 2 a 5,
la superficie será multiplicada por
(la subtabla azul es proporcional).
El resultado final es
|
metro cuadrado.
|
Gráfico
de y = ax, y = –ax
Proporcionalidad
inversa.
El
concepto de proporcionalidad
inversa puede ser contrastado
contra la proporcionalidad
directa. Considere dos variables que se dice son "inversamente
proporcionales" entre sí. Si todas las otras
variables se mantienen constantes, la
magnitud o el valor absoluto de una variable de proporcionalidad inversa
disminuirá si la otra variable aumenta, mientras que su producto se mantendrá
(la constante de proporcionalidad k)
siempre igual.
Formalmente,
dos variables son inversamente
proporcionales (o están en variación inversa, o en proporción inversa o en proporción
recíproca) si una de las variables es directamente proporcional con la multiplicativa inversa (recíproca) de la otra, o equivalentemente, si sus productos son constantes. Se sigue que la variable y es inversamente proporcional a la
variable x si existe una constante k distinta de cero tal que
Ejemplo:
Tres
pintores tardan 10 días en pintar una tapia. ¿Cuánto tardarán seis pintores en
hacer el mismo trabajo? . Al aumentar el número de pintores disminuye el tiempo
que se tarda en pintar la tapia, como el número de pintores se multiplica por
2, el número de días que s emplean en pintar se divide por 2. Así tardarán 5
días.
Gráfico
de y = a/x, y = –a/x
5.3 REGLA DE TRES SIMPLE.
La regla de tres o regla
de tres simple es una forma
de resolver problemas de proporcionalidad entre tres o más valores conocidos y una incógnita. En
ella se establece unarelación de linealidad (proporcionalidad)
entre los valores involucrados.
Regla de tres es la operación de hallar el cuarto término de una proporción conociendo los otros tres.
La
regla de tres más conocida es la regla de tres simple directa, si bien resulta
muy práctico conocer la regla de tres simple inversa y la regla de tres
compuesta, pues son de sencillo manejo y pueden utilizarse para la resolución
de problemas cotidianos de manera efectiva.
Regla de tres simple.
En la
regla de tres simple, se establece la relación de proporcionalidad entre dos
valores conocidos A y B,
y conociendo un tercer valor X,
calculamos un cuarto valor. Y,4
La
relación de proporcionalidad puede ser directa o inversa, será directa cuando a
un mayor valor de A habrá un mayor valor de B, y será inversa, cuando se dé
que, a un mayor valor de A corresponda un menor valor de B, veamos cada uno de esos
casos.
Regla de tres simple directa
La regla
de tres simple directa se fundamenta en una relación de proporcionalidad, la
regla de tres establece una relación desproporcionalidad, por lo que rápidamente se observa que:
Donde k es la constante de proporcionalidad,
para que esta proporcionalidad se cumpla tenemos que a un aumento de A le corresponde un aumento de B en la misma proporción. Que podemos
representar:
y
diremos que: A es a B directamente, como X es a Y,
siendo Y igual al producto de B por X dividido entre A.
Imaginemos
que se nos plantea lo siguiente:
Si
necesito 8 litros de pintura para pintar 2 habitaciones, ¿cuántos litros
necesito para pintar 5 habitaciones?
|
Este
problema se interpreta de la siguiente manera: la relación es directa, dado
que, a mayor número de habitaciones hará falta más pintura, y lo representamos así:
Regla de tres simple inversa
donde e es un producto constante, para que
esta constante se conserve, tendremos que un aumento de A, necesitara una disminución
de B, para que su producto
permanezca constante, si representamos la regla de tres simple inversa,
tendremos:
y
diremos que: A es a B inversamente, como X es a Y,
siendo Y igual al producto de A por B dividido por X.
Si por
ejemplo tenemos el problema:
Si 8 trabajadores construyen un muro en 15 horas, ¿cuánto tardarán 5 trabajadores en levantar el mismo muro? |
Si se
observa con atención el sentido del enunciado, resulta evidente que cuantos más
obreros trabajen, menos horas necesitarán para levantar el mismo muro
(suponiendo que todos trabajen al mismo ritmo).
El
total de horas de trabajo necesarias para levantar el muro son 120 horas, que
pueden ser aportadas por un solo trabajador que emplee 120 horas, 2
trabajadores en 60 horas, 3 trabajadores lo haran en 40 horas, etc. En todos
los casos el numero total de horas permanece constante.
Tenemos
por tanto una relación de proporcionalidad
inversa, y deberemos aplicar una regla de tres simple inversa, tenemos:
5.4 REGLA DE TRES
COMPUESTA.
En
ocasiones el problema planteado involucra más de tres cantidades conocidas,
además de la desconocida.6 Observemos el siguiente ejemplo:
Si 12 trabajadores construyen un muro de 100 metros en 15 horas, ¿cuántos trabajadores se necesitarán para levantar un muro de 75 metros en 26 horas? |
En el
problema planteado aparecen dos relaciones de proporcionalidad al mismo tiempo.
Además, para completar el ejemplo, se ha incluido una relación inversa y otra
directa. En efecto, si un muro de 100 metros lo construyen 12 trabajadores, es
evidente que para construir un muro de 75 metros se necesitarán menos
trabajadores. Cuanto más pequeño es el muro, menos número de obreros
precisamos: se trata de una relación de proporcionalidad
directa. Por otro lado, si disponemos de 15 horas para que trabajen 12
obreros, es evidente que disponiendo de 26 horas necesitaremos menos obreros.
Al aumentar una cantidad, disminuye la otra: se trata de una relación de proporcionalidad inversa.
El
problema se enunciaría así:
100 metros son a 15 horas y 12 trabajadores como 75 metros son a 26 horas e Y trabajadores. |
La
solución al problema es multiplicar 12 por 75 y por 15, y el resultado
dividirlo entre el producto de 100 por 26. Por tanto, 13500 entre 2600 resulta
5,19 (lo que por redondeoresultan
ser 6 trabajadores ya que 5 trabajadores no serían suficientes).
Formalmente
el problema se plantea así:
·
La resolución implica plantear cada regla de tres simple por separado.
Por un lado, la primera, que, recordemos, es directa, y se resuelve así:
·
A continuación planteamos la segunda, que, recordemos, es
inversa, y se resuelve así:
·
A continuación unimos ambas operaciones en una sola, teniendo
cuidado de no repetir ningún término (es decir, añadiendo el término C una sola vez):
lo que
nos da la solución buscada.
El
problema se puede plantear con todos los términos que se quiera, sean todas las
relaciones directas, todas inversas o mezcladas, como en el caso anterior. Cada
regla ha de plantearse con sumo cuidado, teniendo en cuenta si es inversa o
directa, y teniendo en cuenta (esto es muy importante) no repetir ningún
término al unir cada una de las relaciones simples.
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